J.F. Mas, J.L. Palacio, A. Velázquez y G. Bocco, 2001, Evaluación de la confiabilidad temática de bases de datos cartográficas, I congreso nacional  de Geomática, Guanajuato, 26-28 de septiembre de 2001.

 

 

EVALUACIÓN DE LA CONFIABILIDAD TEMÁTICA

DE BASES DE DATOS CARTOGRÁFICAS

 

J.F. Mas *, J.L. Palacio *, A. Velázquez * y G. Bocco **

 

* Instituto de Geografía – Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)

Circuito exterior – Cd. Universitaria

A.P. 20-850 CP 01000 México DF MEXICO

E-mail : jfmas@igiris.igeograf.unam.mx

Phone / Fax : (52) 43 24 71 49

 

** Instituto Nacional de Ecología

Av. Revolución 1425, Col. Campestre,

C.P. 01040, México, D.F. MEXICO

 

 

Resumen. 1

Introducción. 2

Diseño del muestro. 3

Obtención de la clase correspondiente a cada sitio de muestreo. 3

Análisis de los datos. 3

Evaluación de la base de datos del inventario forestal nacional 2000-2001. 4

La base de datos del inventario forestal nacional 2000-2001. 4

La adquisición de fotografías aéreas digitales. 4

Evaluación de la confiabilidad. 5

Resultados y conclusión. 5

Referencias. 7

 

RESUMEN

Unos de los insumos más importantes para definir políticas de aprovechamiento y de conservación de los recursos naturales se expresa a través de mapas temáticos impresos o integrados en sistemas de información geográfica. En muchos casos, no se cuestionaba la confiabilidad de estos datos. Sin embargo, toda base de datos geográfica presenta un nivel de incertidumbre que depende de la calidad de los insumos, la metodología para su elaboración, la captura y la representación de los datos. Antes de ser utilizados para la toma de decisiones, los datos cartográficos deben ser evaluados para conocer su confiabilidad.

Esta evaluación se lleva a cabo con base en sitios de verificación para los cuales se confronta el mapa con información muy confiable obtenida a través de visitas de campo o del análisis de imágenes detalladas. Se puede dividir el proceso de evaluación de la confiabilidad en 3 etapas:

1)      El diseño del muestreo que consiste en la selección de los sitios de verificación.

2)      La obtención de la clase correspondiente a cada sitio de muestreo.

3)      El análisis de los datos que consiste en la elaboración de una matriz de error y el cálculo de índices de confiabilidad.

 

La selección de los sitios de verificación debe cumplir con criterios estadísticos que garanticen que la evaluación no esté sesgada. La confrontación entre la clase obtenida para el sitio de verificación y en el mapa se ve afectada por diversos factores que conducen a una subestimación de la confiabilidad. Por fin el cálculo de índices de confiabilidad y su interpretación deben ser el objeto de un análisis detallado.

 

Esta ponencia presenta una revisión de la literatura especializada en el tema y describe el proceso de evaluación de la confiabilidad de la base de datos espaciales desarrollada en el ámbito del inventario forestal nacional 2000-2001.

 

INTRODUCCIÓN

Unos de los insumos más importantes para definir políticas de aprovechamiento y de conservación de los recursos naturales se expresa a través de mapas temáticos, como los mapas edafológicos o  de uso del suelo y vegetación, entre otros. Estos mapas se presentan en formato impreso o integrados en sistemas de información geográfica. Durante las tres últimas décadas, se incrementó notablemente el uso de imágenes de satélite para generar estos mapas (Millington y Alexander 2000).

En muchos casos se aceptaba que los mapas temáticos eran confiables y no se cuestionaba la calidad de los mismos. Por lo que se asumía que cada unidad espacial se ajustaba perfectamente con la leyenda y esta a su vez con la realidad. En México, las principales bases de datos y cartografía sobre la cobertura del suelo, como la del Instituto Nacional de Estadísticas, Geografía e Informática (INEGI) por ejemplo, no presentan evaluación de su confiabilidad.

Sin embargo, toda base de datos geográfica presenta un nivel de incertidumbre que resulta de diversas fuentes de error. La confiabilidad de un mapa depende, principalmente, de la calidad de los insumos y de la metodología adoptada para su elaboración. En las varias etapas del proceso de elaboración de un mapa se pueden introducir diferentes errores, aquellos generados durante 1) el análisis de las imágenes, que dependen de la experiencia del intérprete y de la calidad de los insumos (fotos y/o imágenes); 2) la captura (digitalización por ejemplo) y 3) la representación de los datos en un mapa.

Generalmente se considera que existen dos tipos de error (Chrisman 1989, Goodchild et al. 1992) : los errores temáticos que se refieren a errores de etiqueta y los errores geométricos (de posición) en la delimitación de los polígonos. Aspinall y Pearson (1995) distinguen una tercera componente de error potencial en los mapas temáticos que es la heterogeneidad dentro de un polígono. En este trabajo, nos interesamos a la confiabilidad temática del mapa.

La evaluación de la confiabilidad de los mapas y de las bases digitales geográficas son temas que está cobrando interés, en gran medida por el desarrollo de los sistemas de información geográfica (SIG). El conocer la confiabilidad de un producto cartográfico permite al usuario del mapa valorar su grado de acuerdo con la realidad o el riesgo que asume el tomador de decisiones sobre la información representada en ese mapa. Permite también conocer o modelar el error que resulte del cruce de varias capas con cierto grado de error en un SIG (Burrough, 1994).

 

La evaluación de la confiabilidad consiste en comparar el mapa con información considerada más confiable. Generalmente se basa en un muestreo de sitios de verificación cuya clasificación se obtiene a partir de observaciones de campo o del análisis de imágenes más detalladas que aquellas utilizadas para generar el mapa Por ejemplo se utilizan fotografías aéreas para verificar mapas generados a partir de imágenes de satélite de alta resolución como Landsat o SPOT. La confrontación entre las clases cartografiadas y las clases determinadas para los sitios de verificación permite evaluar la confiabilidad del mapa y conocer las principales confusiones que presenta.

 

Stehman y Czaplewski (1998) dividen el proceso de evaluación de la confiabilidad en 3 etapas :

4)      El diseño del muestreo que consiste en la selección de las unidades de muestreo.

5)      La obtención de la clase correspondiente a cada sitio de muestreo.

6)      El análisis de los datos que consiste en la elaboración de una matriz de error y el cálculo de índices de confiabilidad.

 

En esta exposición, se hace una rápida revisión de la literatura sobre la evaluación de la confiabilidad de mapas temáticos o de imágenes clasificadas y se presenta el proceso de evaluación de la confiabilidad de los mapas del inventario forestal nacional 2000-2001.

 

Diseño del muestro

Las unidades de muestreo permiten relacionar la localización de la información del mapa y del terreno. Puede ser un punto, un píxel, un bloque de píxel, un polígono o otra unidad de superficie. Si la unidad de muestreo es un punto, se compara la clasificación del mapa a este punto con la misma localización en el terreno. En la práctica se evalúa a menudo una superficie alrededor del punto. No existe consenso sobre la unidad de muestreo más idónea. Su elección depende de los objetivos de la evaluación, del proceso de mapeo, de la estructura del paisaje. La superficie del sitio de muestreo es también un elemento delicado de determinar : un sitio de verificación grande puede incluir varias porciones de polígono en el mapa y generar ambigüedades al confrontar la información del sitio de verificación y el mapa. Al opuesto un sitio de verificación pequeño puede coincidir con una unidad del paisaje no representada en el mapa por ser más pequeña que el mínimo cartografiable.

 

El diseño del muestreo sirve para seleccionar una pequeña parte del área de estudio de tal forma que sea representativa del conjunto. Para ser estadísticamente riguroso, un diseño de muestreo debe ser probabilístico es decir que cualquier unidad de muestreo presente en el mapa tenga una probabilidad no nula de ser muestreada. En otras palabras, la selección de los sitios de verificación no debe ser sesgada para descartar o favorecer sitios de verificación presentando ciertas características. La elección del método más idóneo de muestreo no es claramente definida. Los esquemas más empleados son aleatorios simple, aleatorio estratificado, sistemático, sistemático no alineado, por conglomerados (Chuvieco 1996). Todos estos esquemas cumplen con el requisito probabilístico. Existen numerosos ejemplos de diseño sesgado que no se pueden considerar como estadísticamente robustos pues el muestreo no es representativo del conjunto del mapa. Por ejemplo, la selección de puntos de verificación ubicados en el centro de los polígonos de los mapas conduce a una evaluación optimista de la confiabilidad del mapa ya que los errores son más frecuentes en las zonas de transición entre diferentes tipos de cobertura (límites entre polígonos). De la misma manera la selección de puntos de muestreo ubicados cerca de carreteras por cuestiones de acceso para la verificación de campo tiende a obtener sitios de verificación localizados en regiones mejor conocidas (por los foto-intérpretes por ejemplo y por consecuencia mejor interpretadas) y a tipos de vegetación más perturbados.

 

El tamaño de la muestra. Como se trata de medir una variable binomial (acierto-error) y que el tamaño de la población estudiada es grande, se puede emplear la fórmula a continuación (Fitzpatrick-Lins, 1981; Dicks & Lo, 1990):

           (1)

Donde n número de puntos de muestreo, p confiabilidad, d : error (medio intervalo de confianza) y t = 1.96 para α = 0.05.

 

Como se puede observación en la ecuación (1), el intervalo de confianza del estimado de esta confiabilidad depende del número de unidades de muestreo (más grande el tamaño de muestra, más pequeño el intervalo de confianza) y de la confiabilidad de la clase (con el mismo número de unidades de muestreo, la confiabilidad se estima con menos precisión si está cerca de 50 %).

 

Obtención de la clase correspondiente a cada sitio de muestreo

Este paso consiste en la caracterización del sitio de verificación para asociarlo a una (o varias) clases de la leyenda del mapa que se evalúa. Dicks y Lo (1990) asocian cada sitio de verificación a una sola categoría pero seleccionan unidades de muestreo homogéneas. Varios autores observan que durante la confrontación entre la clase interpretada en la fotografía y en el mapa tiene algunas limitaciones que conducen a una subestimación de la confiabilidad. Estas limitaciones son :

a) la dificultad para escoger una clase única con base en las fotos,

b) el error en la localización de la foto en el mapa (Khorram et al., 2000),

c) la subjetividad de delimitar cubiertas que presentan transición (temporal o espacial) o un alto grado de fragmentación.

Por estas razones se desarrollan enfoques que permitan los matches múltiples (Khorram et al. 2000) o utilizan un enfoque difuso (Woodcock y Gopal 2000).

Análisis de los datos

El análisis de los datos se hace generalmente a través de una matriz de confusión que permite confrontar la información de los sitios de verificación con aquella de la base cartográfica que se pretende evaluar. Con base en esta matriz se desarrollaron varios índices de confiabilidad (Stehman y Czaplewski 1998) como la confiabilidad global (proporción de los sitios de verificación correctamente clasificados en la base cartográfica). Existen también índices que dan cuenta de la confiabilidad de cada una de las clases de la leyenda como a) la confiabilidad del usuario que puede interpretarse como la probabilidad que un punto clasificado como A y aleatoriamente seleccionado sea realmente A en el terreno y b) la confiabilidad del productor que es la proporción de sitios de verificación de la clase A que están representados en el mapa o la base de datos como tal. Los índices de confiabilidad descritos anteriormente no toman en cuenta los elementos fuera la diagonal de la matriz (Rosenfield y Fitzpatrick-Lins 1986). Se desarrolló el índice de Kappa que utiliza los elementos fuera de la diagonal y da cuenta de la contribución del azar en la confiabilidad. Un coeficiente de Kappa de 0.9 significa que la clasificación es 90 % mejor que la confiabilidad esperada afectando aleatoriamente una categoría de cobertura a los polígonos (Dicks y Lo 1990).

 

Evaluación de la base de datos del inventario forestal nacional 2000-2001

 

La base de datos del inventario forestal nacional 2000-2001

A solicitud de la SEMARNAP, el Instituto de Geografía de la UNAM desarrolló la primera fase del inventario forestal nacional de México que consistió en la elaboración de la cartografía de los recursos maderables y no maderables que sirva para la gestión ambiental. Se definió la leyenda a través de talleres en los cuales participaron los especialistas en cartografía de la vegetación en México. La leyenda es jerárquica y comprende en total 75 categorías organizadas en 4 niveles. Los dos insumos principales para este trabajo fueron las composiciones a color elaboradas a partir de 126 imágenes de satélite Landsat ETM + del 2000 y los mapas de uso del suelo y vegetación serie II de INEGI. Las imágenes de satélite se interpretaron visualmente bajo la asesoría de especialistas en cartografía y en vegetación y la supervisión de INEGI. Los mapas fueron integrados en un sistema de información geográfico (SIG) para generar una base de datos digital para todo el territorio nacional (Palacio et al. 2000).

 

 

La adquisición de fotografías aéreas digitales

La evaluación de la confiabilidad se realizó con base en el análisis de fotografías aéreas digitales de muy alta resolución. Se diseñaron líneas de vuelo, espaciadas de 50 a 80 kilometros, que cruzan todo el territorio nacional (figura 1). En total, se planteó la adquisición de más de 60,000 fotografías que cubran 10 % del territorio nacional.

 

Figura 1 – Líneas de vuelo del inventario forestal nacional 2000-2001

 

Para la adquisición de las fotografías, se utilizaron dos cámaras digitales Nikon D-1 que proporcionan imágenes en color de 2000 x 1312 pixeles, provistas de un lente zoom de alta calidad y óptica de baja dispersión, que permitió realizar ajustes de escala en función de las variaciones en la altura de vuelo producidas por el relieve. Además se utilizó una cámara digital Kodak DCS-420c, que proporciona imágenes en color de 1524 x 1012 pixeles. Las tres cámaras almacenan información relevante de cada imagen, como la fecha y hora de toma (GMT), distancia focal, distancia enfocada, velocidad de obturación, diafragma, método de medición de exposición, modo de exposición, factor de compresión y otros.

 

Las imágenes fueron vaciadas de las tarjetas de memoria a dos computadoras portátiles durante los vuelos. Además de estas computadoras, se utilizaron otras dos, también portátiles, cuya misión fue la de apoyar la navegación aérea, visualizar y organizar las líneas de vuelo, disparar las cámaras y adquirir los datos de georreferencia proporcionados por el GPS para cada toma. Las computadoras de navegación utilizaron los programas SADI-Geo (coordenadas geográficas, cobertura de grandes extensiones) y SADI-UTM (coordenadas UTM, extensiones contenidas dentro de una zona UTM), desarrollados en el Instituto de Geografía de la UNAM. Estos programas permiten la elaboración rápida de planes de vuelo, en función de los parámetros de las diferentes cámaras, el área de interés y la resolución requerida. Realizan el disparo de las cámaras generando un registro de una base de datos para cada imagen, que posteriormente se asocia, a través de la hora GMT de toma, con los datos fotográficos y técnicos almacenados por las cámaras para cada imagen. Se utilizaron 3 receptores GPS que proporcionaron la georreferencia para cada imagen obtenida, con una precisión variable de entre 20 y 100 metros en XY y de 100-200 metros en altitud (Z). Se utilizaron tres intervalómetros diseñados y construidos en el Instituto de Geografía. Su función es cerrar el circuito de disparo de las cámaras y pueden operar ya sea de modo independiente, ajustando el intervalo de disparo entre 1 y 30 segundos, o bien controlados desde las computadoras de vuelo, para realizar disparos por tiempo ó por coordenadas preestablecidas. La mayor parte de los levantamientos se realizó a bordo de aeronaves del INEGI. Por otra parte, se rentaron aeronaves particulares, modificadas para la realización de levantamientos aéreos.

 

En total, se tomaron más de 60,000 fotografías aéreas digitales distribuidas en todo el país La interpretación de estas fotografías, mucho más detalladas que las imágenes de satélite, permite obtener sitios de verificación que se usan para evaluar la calidad de los mapas (figura 2).

 

 

Figura 2 - Composición de color de una imagen Landsat ETM+ y fotografía aérea digital de un área situada en la región de la Laguna de Términos, Campeche (Nota : las imágenes han sido remuestradas para facilitar su visualización a través de internet).

 

Evaluación de la confiabilidad

Se seleccionaron aleatoriamente fotografías para que sirvan de sitios de verificación. Las imágenes seleccionadas fueron procesadas para facilitar su interpretación, mediante la manipulación del histograma y la aplicación de un filtro paso altas en casos específicos. Los pares estereoscópicos se imprimieron en una impresora de tinta sólida con resolución de 800 puntos por pulgada, adecuada para la mayoría de las imágenes, o de 1200 puntos por pulgada en casos de difícil interpretación. Las imágenes que no fueron seleccionadas, que constituyen la mayor parte, permanecen en los discos compactos originales junto con las tablas correspondientes, para su recuperación y procesamiento en caso de que se requiera una ampliación de la muestra o existen dudas en la interpretación.

Estas fotografías fueron interpretadas por un grupo de foto-intérpretes y especialistas de la vegetación altamente calificados. La foto-interpretación se realizó  con la ayuda estereoscopios, mapas topográficos para ubicar el sitio pero de manera totalmente independiente a los mapas del inventario.

Resultados y conclusión

El ejercicio de evaluación solamente se llevó a cabo en el norte del país para el cual se disponía de fotografías aéreas digitales al finalizar la elaboración de la base de datos del inventario. En total se evaluaron seis comunidades. Estas representan en su totalidad al 13% de las comunidades de contempladas en la leyenda y parcialmente a cinco tipos de vegetación. La confiabilidad evaluada para éstas categorías se muestra en la matriz de confusión que a continuación se presenta (tabla 1).

 


Tabla 1 - Matriz de confusión para seis comunidades

 

                                                                                  INFORMACIÓN DE LAS FOTOGRAFÍAS DIGITALES   

INFORMACIÓN DEL MAPA

Agricultura de riego (incluye riego eventual)

Agricultura de temporal

Bosque de táscate

Bosque de pino

Bosque bajo-abierto

Bosque de pino-encino (incluye encino-pino)

Bosque de encino

Bosque mesófilo de montaña

Selva baja subperennifolia

Selva mediana caducifolia y subcaducifolia

Selva baja caducifolia y subcaducifolia

Matorral subtropical

Selva baja espinosa

Mezquital (incluye huizachal)

Matorral crasicaule

Matorral desértico micrófilo

Matorral desértico rosetófilo

Vegetación de desiertos arenosos

Matorral submontano

Chaparral

Pastizal natural (incluye pastizal-huizachal)

Pastizal inducido

Vegetación halófila y gipsófila

Asentamiento humano

Total general

Confiabilidad del usuario (%)

Bosque de pino

 

 

 

57

 

43

18

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

121

47.1

Bosque bajo-abierto

 

 

1

1

41

1

15

 

 

 

2

 

4

1

 

 

1

 

 

6

5

2

 

 

80

51.3

Bosque de pino-encino (incluye encino-pino)

1

1

2

6

17

112

60

4

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

3

1

 

1

 

 

213

52.6

Bosque de encino

 

 

 

 

6

3

190

1

 

5

12

1

5

 

 

 

 

 

1

2

2

1

 

1

230

82.6

Selva baja caducifolia y subcaducifolia

 

 

 

 

1

1

13

1

1

9

100

5

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

139

71.9

Matorral desértico micrófilo

 

 

 

 

1

 

6

 

 

 

1

1

 

5

3

81

5

7

 

1

 

2

1

 

114

71.1

Total general

1

1

3

64

66

160

302

6

1

14

121

7

18

6

3

81

7

7

4

10

7

6

1

1

897

 

Confiabilidad del productor

 

 

 

89.1

62.1

70.0

62.9

 

 

 

82.6

 

 

 

 

100.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

De este ejercicio cabe destacar que la comunidad de “Bosque bajo abierto” tiene el mínimo valor de confiabilidad del productor (62.1%) mientras que la comunidad “Matorral desértico micrófilo” obtuvo el máximo grado de certidumbre (100 %). De esta matriz de confusión también se obtuvo un porcentaje general de confiabilidad de la cartografía que alcanzó un valor promedio de 78 % y 63 % para el productor y el usuario respectivamente (ver tabla 2). Los valores de confiabilidad obtenidos, hasta ahora, están dentro de los estándares internacionales aceptados en la literatura.

 

Tabla 2 - Valores de confiabilidad para las seis comunidades evaluadas.

 

 

Confiabilidad

del usuario

Confiabilidad

del productor

Comunidad

%

d

Kappa

%

d

Kappa

Bosque de pino

47.1

± 8.9

0.39

89.1

± 7.6

0.88

Bosque bajo-abierto

51.3

± 11.0

0.46

62.1

± 11.7

0.59

Bosque de pino-encino

52.6

± 6.7

0.38

70.0

± 7.1

0.63

Bosque de encino

82.6

± 4.9

0.77

62.9

± 5.4

0.44

Selva baja caducifolia y subcaducifolia

71.9

± 7.5

0.67

82.6

± 6.8

0.80

Matorral desértico micrófilo

71.1

± 8.3

0.67

100.0

± 0.0

1.00

Promedio

62.8

 

0.56

77.8

 

0.72

%: confiabilidad en porcentaje de sitios correctamente clasificados, d: medio intervalo de confianza de la confiabilidad, Kappa: valor del coeficiente de Kappa.

 

Estos resultados representan parcialmente la evaluación de la confiabilidad puesto que sólo se contemplaron seis comunidades con un total de 897 fotografías. Originalmente se esperaba evaluar las 75 categorías con un total de 7,000 fotografías. Por lo anterior, se hace necesario continuar con este ejercicio para tres objetivos principales. El primero es para generar un mecanismo de evaluación bien definido; el segundo para poder dar un valor de confiabilidad en el ámbito nacional considerando todas las categorías; el tercero es para poder dirigir los esfuerzos de verificación en campo y de cartografía de recursos naturales hacia las categorías con menor confiabilidad. Con todo esto se podrá obtener a corto plazo un mejor esquema de evaluación de recursos naturales, con menor costo y mayor precisión.

 

Referencias

Aspinall, R. y D. M. Pearson, 1995, Describing and managing uncertainty of categorical maps in GIS. In: Fisher (ed.) Innovations in GIS 2. Taylor & Francis, London, 71-83 pp.

Burrough, P. A., 1994, Accuracy and error GIS. In Green, D.R. y D. Rix (ed.) The AGI Sourcebook for Geographic Information Systems 1995. AGI, London 87-91 pp.

Chrisman, N. R., 1989, Modeling error in overlaid categorical maps. In: Goodchild, M. y Gopal, S. (ed.) Accuracy in Spatial Database. Taylor & Francis, London 21-34 pp.

Chuvieco, E, 1996, Fundamentos de teledetección espacial, Edición Rialp, Madrid, 568 p.

Dicks S.E. & T.H.C. Lo, 1990, Evaluation of Thematic Map Accuracy in a Land-Use and Land-Cover Mapping Program, PE&RS, 56(9):1247-1252.

Fitzpatrick-Lins, K., 1981, Comparison of sampling procedures and data analysis for a land-use and land-cover map, PE&RS, 47:343-351.

Goodchild, M. F., Gouquing, S. y Shiren, Y, 1992, Development and test of an error model for categorical data. International Journal of Geographycal Information Systems, 6, 87-104.

Khorram S., J. Knight, H. Cakir, H. Yan, Z. Mao & X. Dai, 2000, Improving estimates of the accuracy of thematic maps when using aerial photos as the ground reference source, Proceedings of the ASPRS Symposium, Washington, USA.

Millington, A.C. and Alexander, R.W. 2000. Vegetation Mapping in the Last Three Decades of the Twentieth Century. In Millington, A.C. and Alexander, R.W. (editors). Vegetation Mapping. John Wiley & Sons, Chochester, England. pp. 321-331.

Palacio J.L, G. Bocco, A. Velázquez, J-F. Mas, F. Takaki, A. Victoria, L. Luna, G. Gómez, J. López, M. Palma, I. Trejo, A. Peralta, J. Prado, A. Rodríguez, R. Mayorga-Saucedo y F. González-Medrano. 2000. "La condición actual de los recursos forestales en México: resultados del Inventario Forestal Nacional 2000". Investigaciones Geográficas, Boletín del Instituto de Geografía, UNAM,. 43: 183-203.

Rosenfield G.H. & K. Fitzpatrick-Lins, 1986, A coefficient of Agreement as a Measure of Thematic Classification Accuracy, P.E. & RS 52(2):223-227.

Stehman S.V., & Czaplewski R.L., 1998, Design and Analysis for Thematic Map Accuracy Assessment: Fundamental Principles, Rem. Sens. Environ. 64:331-344.

Woodcock, C. y S. Gopal. 2000. Accuracy assessment and area estimates using fuzzy sets. Int. J. of Geog. Inf. Science. 14(2):153-172.

 

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